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2016_2017学年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学业分层测评含解析北师大版选修2_2

2.5 简单复合函数的求导法则 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 π? ? ?π ? 1.若函数 f(x)=3cos?2x+ ?,则 f′? ?等于( 3? ? ?2? A.-3 3 C.-6 3 π? ? 【解析】 f′(x)=-6sin?2x+ ?, 3? ? π? π ?π ? ? ∴f′? ?=-6sin?π + ?=6sin =3 3. 2 3 3 ? ? ? ? 【答案】 B 2.函数 y=xln(2x+5)的导数为( A.y′=ln(2x+5)- B.y′=ln(2x+5)+ C.y′=2xln(2x+5) D.y′= 2x+5 【解析】 ) B.3 3 D.6 3 ) x 2x+5 2x 2x+5 x y′= [xln(2x +5)]′= x′ln(2x + 5) + x[ln(2x +5)]′= ln(2x + 5) + x· 1 2x ·(2x+5)′=ln(2x+5)+ . 2x+5 2x+5 【答案】 B 3.曲线 y=f(x)=xe A.2e C.2 【解析】 x-1 在点(1,1)处切线的斜率等于( B.e D.1 ) y′=e x-1 +xe x-1 =(x+1)e x-1 ,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 f′(1) =2. 【答案】 C 4.函数 y=cos 2x+sin x的导数为( cos x A.y′=-2sin 2x+ 2 x cos x B.y′=2 sin 2x+ 2 x ) sin x C.y′=-2sin 2x+ 2 x cos x D.y′=2sin 2x- 2 x 【解析】 y′=-sin 2x·(2x)′+cos 1 1 =-2sin 2x+ · cos x 2 x cos x =-2sin 2x+ . 2 x 【答案】 A 1 2 x·( x)′ x 2 5.曲线 y=e 在点(4,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( 9 2 A. e 2 C.2e 2 ) B.4e D.e 1 2 2 1 2 【解析】 因为导函数 y′= e , 2 1 2 2 所以曲线在点(4,e )处的切线的斜率为 e . 2 1 2 2 于是切线方程为 y-e = e (x-4). 2 令 x=0,解得 y=-e ;令 y=0,解得 x=2. 1 2 2 所以 S= e ×2=e . 2 【答案】 D 二、填空题 6.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 【解析】 f′(x)=[log3(x-1)]′ = 1 , (x-1)ln 3 1 . ln 3 1 ln 3 4 4 2 x ∴f′(2)= 【答案】 7.(2016·广州高二检测)若函数为 y=sin x-cos x,则 y′=________________. 【解析】 ∵y=sin x-cos x=(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=-cos 2x, ∴y′=(-cos 2x)′=-(-sin 2x)·(2x)′ 4 4 2 2 2 2 =2 sin 2x. 【答案】 2sin 2x 8.若曲线 y=e 上点 P 处的切线*行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是________. 【解析】 设 P(x0,y0),∵y=e , ∴y′=-e , ∴点 P 处的切线斜率为 k=-e-x0=-2, ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2, ∴y0=e ln 2 -x -x -x =2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2). 【答案】 (-ln 2,2) 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x(1-ax) (a>0),且 f′(2)=5,求实数 a 的值. 【解】 f′(x)=(1-ax) +x[(1-ax) ]′ =(1-ax) +x[2(1-ax)(-a)] =(1-ax) -2ax(1-ax). 由 f′(2)=(1-2a) -4a(1-2a) =12a -8a+1=5(a>0),解得 a=1. 2 2 2 2 2 2 2 ?π 1? 2 10.求曲线 f(x)=2sin x 在点 P? , ?处的切线方程. ? 6 2? 【解】 因为 f′(x)=(2sin x)′=2×2sin x×(sin x)′=2×2sin x×cos x=2sin 2x, 2 ?π ? ? π? 所以 f′? ?=2sin?2× ?= 3. 6 6? ? ? ? 1 ? π? 所以过点 P 的切线方程为 y- = 3?x- ?, 6? 2 ? 1 3π 即 3x-y+ - =0. 2 6 [能力提升] 1.(2016·长沙高二检测)函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是( π? ? A.y′=2 2 cos?2x- ? 4? ? B.y′=cos 2x-sin 2x C.y′=sin 2x+cos 2x π? ? D.y′=2 2cos?2x+ ? 4? ? 【解析】 ∵y′=(sin 2x-cos 2x)′ =(sin 2x)′-(cos 2x)′ ) =cos 2x·(2x)′+sin 2x·(2x)′=2cos 2x+2sin 2x =2 2? π? 2 ? 2 ? ? cos 2x+ sin 2x?=2 2cos?2x- 4 ?, ? ? 2 ?2 ? 故选 A. 【答案】 A 2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数 f(x)=x·ln ax+b,曲线 f(x)在点(e,f(e)) 处的切线方程为 y=2,则 ab=( A.2+e C. 2+e 2 e 2 ) B.2+e D. 2 2 e 【解析】 f′(x)=ln ax+1. 由题意? ?f′(e)=0, ? ?ln ae+1=0, ? 即? ? ? ?f(e)=2, ?eln ae+b=2, 1 解得 a= 2,b=e+2, e e+2 ∴ab= 2 ,故应选 C. e 【答案】 C 3.曲线 y



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